Paxos算法-完全平等分布式系统的选举算法
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问题和假设
Paxos 算法解决的问题是一个分布式系统如 何就某个值（决议）达成一致。一个典型的场景是，在一个分布式数据库系统中，如果各节点的初始状态一致，每个节点都执行相同的操作序列，那么他们最后能得 到一个一致的状态。为保证每个节点执行相同的命令序列，需要在每一条指令上执行一个「一致性算法」以保证每个节点看到的指令一致。一个通用的一致性算法可 以应用在许多场景中，是分布式计算中的重要问题。因此从20世纪80年代起对于一致性算法的研究就没有停止过。节点通信存在两种模型：共享内存（Shared memory）和消息传递（Messages passing）。Paxos 算法就是一种基于消息传递模型的一致性算法。
为描述 Paxos 算法，Lamport 虚拟了一个叫做 Paxos 的希腊城邦，这个岛按照议会民主制的政治模式制订法律，但是没有人愿意将自己的全部时间和精力放在这种事情上。所以无论是议员，议长或者传递纸条的服务员都不能承诺别人需要时一定会出现，也无法承诺批准决议或者传递消息的时间。但是这里假设没有拜占庭将军问题（Byzantine failure，即虽然有可能一个消息被传递了两次，但是绝对不会出现错误的消息）；只要等待足够的时间，消息就会被传到。另外，Paxos 岛上的议员是不会反对其他议员提出的决议的。
对应于分布式系统，议员对应于各个节点，制定的法律对应于系统的状态。各个节点需要进入一个一致的状态，例如在独立Cache的对称多处理器系统中，各个处理器读内存的某个字节时，必须读到同样的一个值，否则系统就违背了一致性的要求。一致性要求对应于法律条文只能有一个版本。议员和服务员的不确定性对应于节点和消息传递通道的不可靠性。
算法
算法的提出与证明
首先将议员的角色分为 proposers，acceptors，和 learners（允许身兼数职）。proposers 提出决议，acceptors 批准决议，learners「学习」决议。划分角色后，就可以更精确的定义问题：
- 决议（value）只有在被 proposers 提出后才能批准（未经批准的决议称为「提案（proposal）」）；
- 在一次 Paxos 算法的执行实例中，只批准一个 Value；
- learners 只能获得被批准（chosen）的 Value。
另外还需要保证 Progress。这一点以后再讨论。
作者通过不断加强上述3个约束（主要是第二个）获得了 Paxos 算法。
批准 value 的过程中，首先 proposers 将 value 发送给 acceptors，之后 acceptors 对 value 进行批准。为了满足只批准一个 value 的约束，要求经「多数派（majority）」批准的 value 成为正式的决议（称为「通过」决议）。这是因为无论是按照人数还是按照权重划分，两组「多数派」至少有一个公共的 acceptor，如果每个 acceptor 只能接受一个 value，约束2就能保证。
于是产生了一个显而易见的新约束：
P1：一个 acceptor 必须批准它接收到的第一个 value。
注意 P1 是不完备的。如果恰好一半 acceptor 批准 value A，另一半批准 value B，那么就无法形成多数派，无法批准任何一个值。
约束2并不要求只通过一个提案, 暗示可能存在多个提案。只要提案的 value 是一样的，通过多个提案不违背约束2。于是可以产生约束 P2：
P2：一旦一个 value 被批准(chosen)，那么之后批准(chosen)的 value 必须和这个 value 一样。
注:通过某种方法可以为每个提案分配一个编号，在提案之间建立一个全序关系，后提出的提案编号大。
如果 P1 和 P2 都能够保证，那么约束2就能够保证。
批准一个value意味着多个acceptor通过(accept)了该value. 因此,可以对P2 进行加强：
P2a：一旦一个 value v 被批准(chosen)，那么之后任何 acceptor 再通过(accept)的 value 必须是 v。
由于通信是异步的，P2a 和 P1 会发生冲突。如果一个 value 通过后，一个 proposer 和一个 acceptor 从休眠中苏醒，前者提出一个新的 value，根据 P1，后者应当批准；根据 P2a，则不应当批准。于是需要对 proposer 的行为进行约束：
P2b：一旦一个 value v 被批准(chosen)，那么以后 proposer 提出的新提案必须具有 value v。
P2b 蕴涵了 P2a，是一个更强的约束。
但是根据 P2b 难以提出实现手段。因此需要进一步加强 P2b。
假设一个编号为 m 的 value v 已经获得批准(chosen)，来看看在什么情况下对任何编号为 n（n>m）的提案都含有 value v。因为 m 已经获得批准(chosen)，显然存在一个 acceptors 的多数派 C，他们都通过(accept)了 v。考虑到任何多数派都和 C 具有至少一个公共成员，可以找到一个蕴涵 P2b 的约束 P2c：
P2c：如果一个编号为 n 的提案具有 value v，那么存在一个多数派，要么他们中没有人通过(accept)过编号小于 n 的任何提案，要么他们进行的最近一次批准(chosen)具有 value v。
可以用数学归纳法证 明 P2c 蕴涵 P2b：假设具有 value v 的提案 m 获得通过，当 n=m+1 时，根据 P2c，由于任何一个多数派中至少有一个批准了 m，因此提案具有 value v；若 (m+1)..(n-1) 所有提案都具有 value v，根据 P2c，若反设新提案 n 不具有 value v 则存在一个多数派，他们没有批准过 m..(n-1) 中的任何提案。但是我们知道，他们中至少有一个人批准了 m。于是我们导出了矛盾，获得了证明。
P2c 是可以通过消息传递模型实现的。另外，引入了 P2c 后，解决了前文提到的 P1 不完备的问题。
算法的内容
要满足 P2c 的约束，proposer 提出一个提案前，首先要和足以形成多数派的 acceptors 进行通信，获得他们进行的最近一次批准活动的编号（prepare 过程），之后根据回收的信息决定这次提案的 value，形成提案开始投票。当获得多数 acceptors 批准后，提案获得通过，由 proposer 将这个消息告知 learner。这个简略的过程经过进一步细化后就形成了 Paxos 算法。
每个提案需要有不同的编号，且编号间要存在偏序关系。可以用多种方法实现这一点，例如将序数和 proposer 的名字拼接起来。如何做到这一点不在 Paxos 算法讨论的范围之内。
如果一个 acceptor 在 prepare 过程中回答了一个 proposer 针对”草案” n 的问题，但是在开始对 n 进行投票前，又批准另一个提案（例如 n-1），如果两个提案具有不同的 value，这个投票就会违背 P2c。因此在 prepare 过程中，acceptor 进行的回答同时也应包含承诺：不会再批准编号小于 n 的提案。这是对 P1 的加强：
P1a：当且仅当 acceptor 没有收到编号大于 n 的 prepare 请求时，acceptor 批准编号为 n 的提案。
现在已经可以提出完整的算法了。
决议的提出与通过
通过一个决议分为两个阶段：
- prepare 阶段：
- proposer 选择一个提案编号 n 并将 prepare 请求发送给 acceptors 中的一个多数派；
- acceptor 收到 prepare 消息后，如果提案的编号大于它已经回复的所有 prepare 消息，则 acceptor 将自己上次的批准回复给 proposer，并承诺不再批准小于 n 的提案；
- 批准阶段：
- 当一个 proposor 收到了多数 acceptors 对 prepare 的回复后，就进入批准阶段。它要向回复 prepare 请求的 acceptors 发送 accept 请求，包括编号 n 和根据 P2c 决定的 value（如果根据 P2c 没有决定 value，那么它可以自由决定 value）。
- 在不违背自己向其他 proposer 的承诺的前提下，acceptor 收到 accept 请求后即批准这个请求。
这个过程在任何时候中断都可以保证正确性。例如如果一个 proposer 发现已经有其他 proposers 提出了编号更高的提案，则有必要中断这个过程。因此为了优化，在上述 prepare 过程中，如果一个 acceptor 发现存在一个更高编号的”草案”，则需要通知 proposer，提醒其中断这次提案。
实例
用实际的例子来更清晰地描述上述过程:
有 A1, A2, A3, A4, A5 5位议员, 就税率问题进行决议. 议员 A1 决定将税率定为 10%, 因此它向所有人发出一个草案. 这个草案的内容是:
现有的税率是什么? 如果没有决定, 则建议将其定为 10%. 时间: 本届议会第3年3月15日; 提案者: A1
在最简单的情况下, 没有人与其竞争; 信息能及时顺利地传达到其它议员处.
于是, A2-A5 回应:
我已收到你的提案, 等待最终批准
而 A1 在收到2份回复后就发布最终决议:
税率已定为 10%, 新的提案不得再讨论本问题.
这实际上退化为二段提交协议.
现在我们假设在 A1 提出提案的同时, A5 决定将税率定为 20%:
现有的税率是什么? 如果没有决定, 则建议将其定为 20%. 时间: 本届议会第3年3月15日; 提案者: A5
草案要通过侍从送到其它议员的案头. A1 的草案将由5位侍从送到 A2-A5 那里. 现在, 负责 A2 和 A3 的侍从将草案顺利送达, 负责 A4 和 A5 的侍从则不上班. A5 的草案则顺利的送至 A3 和 A4 手中.
现在, A1, A2, A3 收到了 A1 的提案; A3, A4, A5 收到了 A5 的提案. 按照协议, A1, A2, A4, A5 将接受他们收到的提案, 侍从将拿着
我已收到你的提案, 等待最终批准
的回复回到提案者那里.
而 A3 的行为将决定批准哪一个.
情况一
假设 A1 的提案先送到 A3 处, 而 A5 的侍从决定放假一段时间. 于是 A3 接受并派出了侍从. A1 等到了两位侍从, 加上它自己已经构成一个多数派, 于是税率 10% 将成为决议. A1 派出侍从将决议送到所有议员处:
税率已定为 10%, 新的提案不得再讨论本问题.
A3 在很久以后收到了来自 A5 的提案. 由于税率问题已经讨论完毕, 他决定不再理会. 但是他要抱怨一句:
税率已在之前的投票中定为 10%, 你不要再来烦我!
这个回复对 A5 可能有帮助, 因为 A5 可能因为某种原因很久无法与与外界联系了. 当然更可能对 A5 没有任何作用, 因为 A5 可能已经从 A1 处获得了刚才的决议.
情况二
依然假设 A1 的提案先送到 A3 处, 但是这次 A5 的侍从不是放假了, 只是中途耽搁了一会. 这次, A3 依然会将”接受”回复给 A1. 但是在决议成型之前它又收到了 A5 的提案. 这时协议有两种处理方式:
1. 如果 A5 的提案更早, 按照传统应该由较早的提案者主持投票. 现在看来两份提案的时间一样(本届议会第3年3月15日). 但是 A5 是个惹不起的大人物. 于是 A3 回复:
我已收到您的提案, 等待最终批准, 但是您之前有人提出将税率定为 10%, 请明察.
于是, A1 和 A5 都收到了足够的回复. 这时关于税率问题就有两个提案在同时进行. 但是 A5 知道之前有人提出税率为 10%. 于是 A1 和 A5 都会向全体议员广播:
税率已定为 10%, 新的提案不得再讨论本问题.
一致性得到了保证.
2. A5 是个无足轻重的小人物. 这时 A3 不再理会他, A1 不久后就会广播税率定为 10%.
情况三
在这个情况中, 我们将看见, 根据提案的时间及提案者的权势决定是否应答是有意义的. 在这里, 时间和提案者的权势就构成了给提案编号的依据. 这样的编号符合”任何两个提案之间构成偏序”的要求.
A1 和 A5 同样提出上述提案, 这时 A1 可以正常联系 A2 和 A3; A5 也可以正常联系这两个人. 这次 A2 先收到 A1 的提案; A3 则先收到 A5 的提案. A5 更有权势.
在这种情况下, 已经回答 A1 的 A2 发现有比 A1 更有权势的 A5 提出了税率 20% 的新提案, 于是回复 A5 说:
我已收到您的提案, 等待最终批准, 但是您之前有人提出将税率定为 10%, 请明察.
而回复了 A5 的 A3 发现新的提案者是个小人物, 不予理会.
于是 A5 将主持投票, 但决议的内容将是 A1 提出的税率 10%.
如果 A3 决定平等地对待每一位议员, 对 A1 做出”你之前有人提出将税率定为 20%” 的回复, 则将造成混乱. 这种情况下 A1 和 A5 都将试图主持投票, 但是这次两份提案的内容不同.
这种情况下, A3 若对 A1 进行回复, 只能说:
有更大的人物关注此事, 请等待他做出决定.
另外, 在这种情况下, A4 与外界失去了联系. 等到他恢复联系, 并需要得知税率情况时, 他(在最简单的协议中)将提出一个提案:
现有的税率是什么? 如果没有决定, 则建议将其定为 15%. 时间: 本届议会第3年4月1日; 提案者: A4
这时, (在最简单的协议中)其他议员将会回复:
税率已在之前的投票中定为 10%, 你不要再来烦我!
决议的发布
一个显而易见的方法是当 acceptors 批准一个 value 时，将这个消息发送给所有 learner。但是这个方法会导致消息量过大。
由于假设没有 Byzantine failures，learners 可以通过别的 learners 获取已经通过的决议。因此 acceptors 只需将批准的消息发送给指定的某一个 learner，其他 learners 向它询问已经通过的决议。这个方法降低了消息量，但是指定 learner 失效将引起系统失效。
因此 acceptors 需要将 accept 消息发送给 learners 的一个子集，然后由这些 learners 去通知所有 learners。
但是由于消息传递的不确定性，可能会没有任何 learner 获得了决议批准的消息。当 learners 需要了解决议通过情况时，可以让一个 proposer 重新进行一次提案。注意一个 learner 可能兼任 proposer。
Progress 的保证
根据上述过程当一个 proposer 发现存在编号更大的提案时将终止提案。这意味这提出一个编号更大的提案会终止之前的提案过程。如果两个 proposer 在这种情况下都转而提出一个编号更大的提案，就可能陷入活锁，违背了 Progress 的要求。这种情况下的解决方案是选举出一个 president，仅允许 president 提出提案。但是由于消息传递的不确定性，可能有多个 proposer 自认为自己已经成为 president。Lamport 在The Part-Time Parliament一文中描述并解决了这个问题。
其他
微软公司为简化的 Paxos 算法申请了专利。但专利中公开的技术和本文所描述的不尽相同。